Triangle rectangle inscrit dans un cercle

On considère un triangle \(\text{ABC}\) . Démontrer que  \(\text{ABC}\) est rectangle en \(\text B\) si et seulement si \([\text{AC}]\) est un diamètre du cercle.

Conseils

• On raisonne par équivalences successives.
  
• Dire que \(\text{ABC}\) est rectangle en \(\text B\) équivaut à dire que \(\vec{\text{AB}}\cdot\vec{\text{CB}}=0\) .
  
• On utilise la relation de Chasles et on remplace chaque vecteur qui apparaît dans le produit scalaire précédent par une somme de vecteurs bien choisis (on pourra considérer le point \(\text{O}\) , milieu de \([\text{AC}]\) ).
  
• On utilise les propriétés du produit scalaire pour aboutir à une relation permettant de conclure.